8133. В пространстве проведены две параллельные прямые и пересекающие эти прямые две параллельные плоскости. Докажите, что четыре точки пересечения прямых и плоскостей служат вершинами параллелограмма.
Указание. Примените теорему о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.
Решение. Пусть прямая a
пересекает параллельные плоскости \alpha
и \alpha_{1}
в точках A
и A_{1}
соответственно, а параллельная ей прямая b
— в точках B
и B_{1}
. Тогда плоскость \beta
, проходящая через параллельные прямые a
и b
, пересекает параллельные плоскости \alpha
и \alpha_{1}
по параллельным прямым AB
и A_{1}B_{1}
. Значит, противоположные стороны четырёхугольника ABB_{1}A_{1}
попарно параллельны. Следовательно, четырёхугольник ABB_{1}A_{1}
— параллелограмм.