8135. Пусть A
— некоторая точка пространства, не лежащая в плоскости \alpha
, M
— произвольная точка плоскости \alpha
. Найдите геометрическое место середин отрезков AM
.
Ответ. Плоскость.
Решение. Пусть B
— некоторая точка плоскости \alpha
. Через середину P
отрезка AB
проведём плоскость \gamma
, параллельную плоскости \alpha
. Докажем, что плоскость \gamma
есть искомое геометрическое место точек.
Пусть X
— произвольная точка плоскости \alpha
(рис. 1). Плоскость, проходящая через прямую BX
и точку A
, пересекает плоскость \gamma
по прямой l
, проходящей через точку P
параллельно BX
. Значит, прямая l
пересекает отрезок AX
в его середине Z
. Таким образом, середина Z
отрезка AX
лежит в плоскости \gamma
.
Пусть теперь N
— произвольная точка плоскости \gamma
(рис. 2). Докажем, что N
— середина отрезка, один конец которого есть точка A
, а второй лежит в плоскости \alpha
. Действительно, если прямая AN
пересекает плоскость \alpha
в точке D
, то плоскость, проходящая через прямую DB
и точку A
пересекает плоскость \gamma
по прямой PN
, параллельной DB
, а так как P
— середина AB
, то N
— середина AD
. Таким образом, AD
— искомый отрезок.