8137. Пусть A
, B
, C
и D
— четыре точки пространства, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что отрезок, соединяющий середины AB
и CD
, пересекается с отрезком, соединяющим середины AD
и BC
. При этом каждый из указанных отрезков делится точкой пересечения пополам.
Указание. Примените теорему о средней линии треугольника.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины отрезков AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Тогда KL
и MN
— средние линии треугольников ABC
и ADC
. Значит, KL\parallel MN
и KL=MN
. Следовательно, KLMN
— параллелограмм. Диагонали KM
и LN
параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.