8138. В пространстве проведены три прямые, не лежащие в одной плоскости. При этом никакие две не являются скрещивающимися. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку, либо параллельны.
Указание. Примените признак скрещивающихся прямых: если прямая l
лежит в плоскости \alpha
, а прямая m
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на прямой l
, то l
и m
— скрещивающиеся прямые.
Решение. Пусть a
, b
и c
— данные прямые. Через прямые a
и b
проведём плоскость \alpha
(это можно сделать, так как прямые a
и b
не являются скрещивающимися). Ясно, что прямая c
не может лежать в плоскости \alpha
, так как по условию задачи прямые a
, b
и c
не лежат в одной плоскости.
Если прямая c
пересекает плоскость \alpha
в точке A
(рис. 1), то точка A
должна лежать на прямой a
, так как в противном случае прямые c
и a
— скрещивающиеся (признак скрещивающихся прямых). Аналогично, точка A
лежит на прямой b
. Следовательно, все три прямые проходят через точку A
.
Если прямая c
параллельна плоскости \alpha
(рис. 2), то плоскость \beta
, проведённая через прямые a
и c
, пересекается с плоскостью \alpha
по прямой a_{1}
, параллельной прямой c
, а так как прямая a_{1}
совпадает с прямой a
(пересечением двух плоскостей является прямая), то прямая c
параллельна прямой a
. Аналогично, прямая c
параллельна прямой b
. Следовательно, все три прямые параллельны.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 8, с. 20