8139. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну.
Решение. Пусть a
и b
— скрещивающиеся прямые. Через произвольную точку A
прямой a
проведём прямую b_{1}
, параллельную прямой b
(рис. 1). Прямые a
и b_{1}
не могут совпасть, так как в противном случае прямая a
была бы параллельна прямой b
. Через пересекающиеся прямые a
и b_{1}
проведём плоскость \beta
. Плоскость \beta
параллельна прямой b
, так как в плоскости \beta
лежит прямая b_{1}
, параллельная прямой b
.
Докажем, что построенная плоскость \beta
единственна. Пусть плоскость \gamma
также проходит через прямую a
и параллельна прямой b
(рис. 2). Плоскости \beta
и \gamma
имеют общую прямую a
. Через произвольную точку M
прямой a
и прямую b
проведём плоскость. Эта плоскость должна пересечься с плоскостями \beta
и \gamma
по прямым, каждая из которых параллельна прямой b
и поэтому отлична от прямой a
. Значит, эти прямые совпадают. Таким образом, через две пересекающиеся прямые проведены две плоскости \gamma
и \beta
. Следовательно, плоскость \gamma
совпадает с плоскостью \beta
.
Примечание. Следствие. Для любой пары скрещивающихся прямых a
и b
существует единственная пара параллельных плоскостей, одна из которых содержит прямую a
, а вторая — прямую b
.