8140. Рассмотрим скрещивающиеся прямые a
и b
. Проведём через прямую a
плоскость, параллельную b
, а через b
— плоскость, параллельную a
. Возьмём точку M
, не лежащую в проведённых плоскостях. Докажите, что две плоскости, одна из которых проходит через a
и M
, а вторая — через b
и M
, пересекаются по прямой, пересекающей прямые a
и b
.
Решение. Пусть \alpha
— плоскость, проходящая через прямую a
параллельно прямой b
, \beta
— плоскость, проходящая через прямую b
параллельно прямой a
, M
— точка, не лежащая в плоскостях \alpha
и \beta
, \alpha_{1}
— плоскость, проходящая через точку M
и прямую a
, \beta_{1}
— плоскость, проходящая через точку M
и прямую b
, c
— прямая пересечения плоскостей \alpha_{1}
и \beta_{1}
.
Прямые c
и a
лежат в плоскости \alpha_{1}
. Предположим, что c\parallel a
. Тогда прямая c
параллельна плоскости \alpha
, а значит, и плоскости \beta
. Плоскость \beta_{1}
проходит через прямую c
, параллельную плоскости \beta
, и пересекает эту плоскость по прямой b
. Поэтому c\parallel b
. Следовательно, a\parallel b
, что противоречит условию задачи. Таким образом, прямая c
пересекает прямую a
. Аналогично докажем, что прямая c
пересекает прямую b
.