8142. Пусть A
, B
, C
и D
— четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Через точку пересечения медиан треугольника ABC
проведена плоскость, параллельная прямым AB
и CD
. В каком отношении эта плоскость делит медиану, проведённую к стороне CD
треугольника ACD
?
Ответ. 1:2
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, P
— середина CD
. Плоскость ABC
проходит через прямую AB
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку O
. Значит, прямая l
пересечения этих плоскостей параллельна прямой AB
.
Пусть прямая l
пересекает отрезок AC
в точке M
. Плоскость ACD
проходит через прямую CD
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку M
. Значит, прямая m
пересечения этих плоскостей параллельна прямой CD
. Пусть прямая m
пересекает отрезок AD
в точке L
, точка E
— середина отрезка AB
, Q
— точка пересечения отрезков LM
и AP
(а значит, Q
— точка пересечения секущей плоскости с указанной медианой AP
треугольника ACD
). Тогда
\frac{AQ}{QP}=\frac{AM}{MC}=\frac{EO}{OC}=\frac{1}{2}.