8145. Точки M
, N
и K
— середины рёбер соответственном BD
, CD
и AB
тетраэдра ABCD
. На прямых BN
и CK
отмечены соответственно точки F
и E
, причём FE\parallel AM
. Найдите отношение FE:AM
.
Ответ. 2:5
.
Решение. Первый способ. Заметим, что отрезок FE
, о котором говорится в условии, — единственный, так как BN
и CK
— скрещивающиеся прямые: если бы другой отрезок с концами P
и Q
на прямых соответственно BN
и CK
удовлетворял условию задачи, то прямые PQ
и FE
были параллельны, и прямые BN
и CK
лежали бы в одной плоскости.
Из параллельности следует, что FE
и AM
лежат в одной плоскости. Пусть эта плоскость пересекает прямую BC
в точке H
. Тогда \frac{MF}{FH}=\frac{AE}{EH}
. Обозначим \frac{BH}{BC}=x
. Отрезок MN
— средняя линия треугольника BCD
, поэтому MN=\frac{1}{2}BC
. Тогда из подобия треугольников MFN
и HFB
получаем, что
\frac{HF}{FM}=\frac{BH}{MN}=\frac{xBC}{\frac{1}{2}BC}=2x.
Через точку A
параллельно BC
проведём прямую, пересекающую продолжение отрезка CK
в точке T
. Тогда треугольник AKT
равен треугольнику BKC
, поэтому AT=BC
. Из подобия треугольников CEH
и TEA
получаем, что
\frac{HE}{EA}=\frac{HC}{AT}=\frac{(1-x)BC}{BC}=1-x,
а так как FE\parallel AM
, то \frac{HE}{EA}=\frac{HF}{FM}
, или 1-x=2x
, откуда x=\frac{1}{3}
. Следовательно, \frac{HE}{EA}=1-x=\frac{2}{3}
.
Из подобия треугольников EHF
и AHM
находим, что
\frac{FE}{AM}=\frac{HE}{HA}=\frac{2}{5}.
Второй способ. Обозначим \frac{CE}{CK}=x
и \frac{NF}{BN}=y
. Разложим вектор \overrightarrow{EF}
по трём некомпланарным векторам \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b}
и \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}
. Учитывая, что
\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DK}=-\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c},
\overrightarrow{CN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{c}~\mbox{и}~\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b},
получим
\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NF}=-x\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{CN}+y\overrightarrow{NB}=
=-x\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{c}+y\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\right)=
=-\frac{1}{2}x\overrightarrow{a}+\left(-\frac{1}{2}x+y\right)\overrightarrow{b}+\left(x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y\right)\overrightarrow{c}.
Векторы
\overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}~\mbox{и}~\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}x\overrightarrow{a}+\left(-\frac{1}{2}x+y\right)\overrightarrow{b}+\left(x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y\right)\overrightarrow{c}
коллинеарны, значит, x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y=0
, а коэффициенты при векторах \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
пропорциональны, т. е.
\frac{-\frac{1}{2}x}{-1}=\frac{\frac{1}{2}x+y}{\frac{1}{2}}.
Таким образом,
\syst{y=2x-1\\5x=4y,\\}
откуда x=\frac{4}{5}
и y=\frac{3}{5}
. Значит,
\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{2}x\overrightarrow{a}+\left(-\frac{1}{2}x+y\right)\overrightarrow{b}+\left(x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y\right)\overrightarrow{c}=
=-\frac{2}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}=\frac{2}{5}\left(-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)=\frac{2}{5}\overrightarrow{AM}.
Следовательно, \frac{EF}{AM}=\frac{2}{5}
.