8146. Плоскость проходит через середины рёбер AB
и CD
пирамиды ABCD
и делит ребро BD
в отношении 1:3
. В каком отношении эта плоскость делит ребро AC
?
Ответ. 1:3
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно, а K
— точка ребра BD
, для которой BK:KD=1:3
.
Рассмотрим плоскость ABD
. Пусть прямые KM
и AD
пересекаются в точке T
. Если F
— середина BD
, то K
— середина BF
. Поэтому KF=\frac{1}{2}BF
. Тогда KM
— средняя линия треугольника AFB
. Значит, KT\parallel AF
и AT=\frac{1}{2}AD
.
Рассмотрим плоскость ACD
. Через вершину C
треугольника ACD
проведём прямую, параллельную AD
, и продолжим TN
до пересечения с этой прямой в точке E
. Пусть прямые TE
и AC
пересекаются в точке L
. Тогда L
— точка пересечения секущей плоскости с ребром AC
. Треугольник ECN
равен треугольнику TDN
, поэтому EC=DT
. Треугольник ATL
подобен треугольнику CEL
. Следовательно,
\frac{AL}{LC}=\frac{AT}{CE}=\frac{\frac{1}{2}AD}{\frac{3}{2}AD}=\frac{1}{3}.