8147. Плоскость проходит через середины рёбер AB
и AC
пирамиды ABCD
и делит ребро BD
в отношении 1:3
. В каком отношении эта плоскость делит ребро CD
?
Ответ. 1:3
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и AC
соответственно, а K
— точка ребра BD
, для которой BK:KD=1:3
. Прямая MN
параллельна ребру BC
(по теореме о средней линии треугольника), поэтому прямая MN
параллельна плоскости BCD
. Секущая плоскость проходит через прямую MN
, параллельную плоскости BCD
и имеет с этой плоскостью общую точку K
. Значит, секущая плоскость пересекается с плоскостью BCD
по прямой l
, параллельной MN
, а значит, и BC
.
Пусть прямая l
пересекается с ребром CD
в точке L
. Тогда L
— точка пересечения секущей плоскости с ребром CD
. Так как KL\parallel BC
, то
CL:LD=BK:KD=1:3.