8148. Докажите, что если две пересекающиеся плоскости параллельны некоторой прямой, то прямая их пересечения параллельна этой же прямой.
Указание. Если прямая l
параллельна плоскости \alpha
, то в плоскости \alpha
найдётся прямая, параллельная прямой l
.
Решение. Пусть плоскости \alpha
и \beta
, пересекающиеся по прямой c
, параллельны некоторой прямой l
. Тогда в этих плоскостях найдутся прямые a
и b
соответственно, параллельные прямой l
, а значит, параллельные между собой. Плоскости \alpha
и \beta
проходят через параллельные прямые a
и b
и пересекаются по прямой c
. Поэтому прямая c
параллельна каждой из прямых a
и b
, причём прямые a
и b
параллельны прямой l
. Следовательно, c\parallel l
.