8150. В пирамиде ABCD
угол ABC
равен \alpha
. Найдите угол между прямыми, одна из которых проходит через середины рёбер AC
и BC
, а другая — через середины рёбер BD
и CD
.
Ответ. \alpha
или 180^{\circ}-\alpha
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника и определением угла между скрещивающимися прямыми.
Решение. Пусть M
, N
, K
и L
— середины отрезков AC
, BC
, BD
и CD
соответственно. По теореме о средней линии треугольника MN\parallel AB
и KL\parallel BC
. По определению угол между прямыми не может быть больше 90^{\circ}
, поэтому, если угол ABC
— острый или прямой, то угол между прямыми MN
и KL
равен \alpha
, если угол ABC
— тупой, то угол между прямыми MN
и KL
равен 180^{\circ}-\alpha
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 1, с. 23