8153. Найдите угол между прямыми AC
и BD
, если расстояние между серединами отрезков AD
и BC
равно расстоянию между серединами отрезков AB
и CD
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть M
, N
, K
и L
— середины отрезков AD
, BC
, AB
и CD
соответственно. Так как ML
и KN
— средние линии треугольников ADC
и ABC
с общим основанием AC
, то ML\parallel KN
. Поэтому точки M
, N
, K
и L
лежат в одной плоскости. Кроме того, MK\parallel LN
, поэтому четырёхугольник KNLM
— параллелограмм. По условию задачи его диагонали KL
и MN
равны, значит, KNLM
— прямоугольник. Следовательно, угол между прямыми AC
и BD
равен углу между параллельными им прямыми KN
и KM
, т. е. 90^{\circ}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 5, с. 23