8154. Найдите угол между прямыми AC
и BD
, если AC=6
, BD=10
, а расстояние между серединами AD
и BC
равно 7.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. Соедините последовательно середины отрезков AD
, DC
, BC
и AB
.
Решение. Пусть M
, N
, K
и L
— середины отрезков AD
, BC
, AB
и CD
соответственно. Так как ML
и KN
— средние линии треугольников ADC
и ABC
с общим основанием AC
, то ML\parallel KN
и
ML=KN=\frac{1}{2}AC=3.
Аналогично, MK\parallel LN
и
MK=LN=\frac{1}{2}BD=5.
Четырёхугольник KNLM
— параллелограмм. По условию задачи его диагональ MN
равна 7. Из треугольника MLN
по теореме косинусов находим, что
\cos\angle MLN=\frac{ML^{2}+LN^{2}-MN^{2}}{2ML\cdot LN}=\frac{9+25-49}{2\cdot3\cdot5}=-\frac{1}{2}.
Значит, \angle MLN=120^{\circ}
. Угол между прямыми AC
и BD
равен углу между параллельными им прямыми LM
и LN
, т. е. 60^{\circ}
.