8156. Можно ли расположить в пространстве четыре попарно перпендикулярные прямые?
Ответ. Нет.
Решение. Предположим, что прямые a
, b
, c
и d
попарно перпендикулярны. Через произвольную точку O
проведём прямые a_{1}
и b_{1}
, соответственно параллельные прямым a
и b
. Тогда каждая из прямых c
и d
перпендикулярна двум пересекающимся прямым a_{1}
и b_{1}
плоскости, проходящей через прямые a_{1}
и b_{1}
. Значит, прямые c
и d
перпендикулярны этой плоскости. Следовательно, они параллельны, что противоречит условию задачи.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 3, с. 28