8159. В треугольной пирамиде ABCD
известно, что AB=2
, BC=3
, BD=4
, AD=2\sqrt{5}
, CD=5
. Докажите, что прямая BD
перпендикулярна плоскости ABC
.
Указание. Треугольники ABD
и BCD
— прямоугольные.
Решение. Поскольку
AD^{2}=20=16+4=BD^{2}+AB^{2},
треугольник ABD
— прямоугольный, причём BD\perp AB
. Аналогично, BD\perp BC
. Таким образом, прямая BD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB
и BC
плоскости ABC
. Следовательно, прямая BD
перпендикулярна этой плоскости.