8160. Расстояния от концов отрезка до плоскости равны 1 и 3. Чему может быть равно расстояние от середины этого отрезка до той же плоскости?
Ответ. 2 или 1.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и M_{1}
— ортогональные проекции на плоскость \alpha
точек A
и B
и середины M
отрезка AB
соответственно. Тогда расстояние от точки M
до плоскости \alpha
равно длине отрезка MM_{1}
.
Если точки A
и B
расположены по одну сторону от плоскости \alpha
, то MM_{1}
— средняя линия прямоугольной трапеции AA_{1}B_{1}B
с основаниями AA_{1}
и BB_{1}
. Следовательно,
MM_{1}=\frac{1}{2}(AA_{1}+BB_{1})=\frac{1}{2}(1+3)=2.
Если точки A
и B
расположены по разные стороны от плоскости \alpha
, то MM_{1}
— отрезок, соединяющий середины диагоналей прямоугольной трапеции AA_{1}BB_{1}
с основаниями AA_{1}
и BB_{1}
. Следовательно,
MM_{1}=\frac{1}{2}|AA_{1}-BB_{1}|=\frac{1}{2}(3-1)=1.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 8, с. 29