8161. Расстояния от вершин треугольника до некоторой плоскости равны 5, 6 и 7. Найдите расстояние от точки пересечения медиан этого треугольника до той же плоскости. Укажите все возможности.
Ответ. 6; 2; \frac{4}{3}
; \frac{8}{3}
.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, K_{1}
и M_{1}
— ортогональные проекции вершин соответственно A
, B
и C
треугольника ABC
, середины K
стороны AC
и точки M
пересечения медиан этого треугольника на плоскость \alpha
, причём AA_{1}=5
, BB_{1}=6
и CC_{1}=7
.
Если точки A
, B
и C
расположены по одну сторону от плоскости \alpha
(рис. 1.), то KK_{1}
— средняя линия прямоугольной трапеции AA_{1}C_{1}C
с основаниями AA_{1}
и CC_{1}
. Следовательно,
KK_{1}=\frac{1}{2}(AA_{1}+CC_{1})=\frac{1}{2}(5+7)=6.
Четырёхугольник BB_{1}K_{1}K
— прямоугольник, в котором BB_{1}=KK_{1}=6
. Точки M
и M_{1}
лежат на его противоположных сторонах BK
и B_{1}K_{1}
, причём MM_{1}\parallel BB_{1}
. Поэтому MM_{1}=BB_{1}=6
.
Если точки A
, C
расположены по одну сторону от плоскости \alpha
, а точка B
— по другую (рис. 2), аналогично предыдущему находим, что KK_{1}=6
. Четырёхугольник BB_{1}KK_{1}
— параллелограмм, в котором BB_{1}=KK_{1}=6
. Точки M
и M_{1}
лежат на его диагоналях BK
и B_{1}K_{1}
, причём MM_{1}\parallel BB_{1}
и \frac{KM}{MB}=\frac{1}{2}
. Пусть прямая MM_{1}
пересекает сторону BK_{1}
в точке D
. Треугольник BMD
подобен треугольнику BKK_{1}
с коэффициентом \frac{2}{3}
, а треугольник K_{1}DM_{1}
— треугольнику K_{1}BB_{1}
с коэффициентом \frac{1}{3}
. Поэтому
MM_{1}=MD-M_{1}D=\frac{2}{3}KK_{1}-\frac{1}{3}BB_{1}=4-2=2.
Если точки A
и B
расположены по одну сторону от плоскости \alpha
, а точка C
— по другую (рис. 3), то KK_{1}
— отрезок, соединяющий середины диагоналей AC
и A_{1}C_{1}
трапеции AA_{1}CC_{1}
с основаниями AA_{1}=5
и CC_{1}=7
. Поэтому
KK_{1}=\frac{1}{2}(CC_{1}-AA_{1})=\frac{1}{2}(7-5)=1,
причём точки C
и K
лежат по одну сторону от плоскости \alpha
, а значит, точки B
и K
— по разные стороны от этой плоскости. Тогда отрезок MM_{1}
соединяет точки M
и M_{1}
, лежащие на диагоналях соответственно BK
и B_{1}K_{1}
трапеции BB_{1}KK_{1}
с основаниями BB_{1}=6
и KK_{1}=1
, причём \frac{KM}{MB}=\frac{1}{2}
и MM_{1}\parallel BB_{1}
.
Пусть прямая MM_{1}
пересекает сторону B_{1}K
в точке E
. Треугольник KME
подобен треугольнику KBB_{1}
с коэффициентом \frac{1}{3}
, а треугольник B_{1}M_{1}E
— треугольнику B_{1}K_{1}K
с коэффициентом \frac{2}{3}
. Поэтому
MM_{1}=ME-M_{1}E=\frac{1}{3}BB_{1}-\frac{2}{3}KK_{1}=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
Наконец, если точки B
и C
расположены по одну сторону от плоскости \alpha
, а точка A
— по другую (рис. 4), то аналогично предыдущему находим, что KK_{1}=1
и точки K
и B
расположены по одну сторону от плоскости \alpha
. Тогда концы отрезка MM_{1}
лежат на боковых сторонах прямоугольной трапеции BB_{1}K_{1}K
с основаниями BB_{1}
и KK_{1}
, причём \frac{KM}{MB}=\frac{1}{2}
и MM_{1}\parallel BB_{1}
.
Пусть диагональ BK_{1}
пересекается с отрезком MM_{1}
в точке F
. Треугольник BMF
подобен треугольнику BKK_{1}
с коэффициентом \frac{2}{3}
, а треугольник K_{1}M_{1}F
— треугольнику K_{1}B_{1}B
с коэффициентом \frac{1}{3}
. Поэтому
MM_{1}=MF+M_{1}F=\frac{2}{3}KK_{1}+\frac{1}{3}BB_{1}=\frac{2}{3}+2=\frac{8}{3}.