8162. Расстояния от подряд идущих вершин параллелограмма до некоторой плоскости равны 1, 3 и 5. Найдите расстояние от четвёртой вершины до этой плоскости.
Ответ. 1; 3; 7; 9.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
, O_{1}
— ортогональные проекции вершин соответственно A
, B
, C
, D
параллелограмма ABCD
и его центра O
на плоскость \alpha
, причём AA_{1}=1
, BB_{1}=3
, CC_{1}=5
.
Если точки A
и C
лежат по одну сторону от плоскости \alpha
, то OO_{1}
— средняя линия прямоугольной трапеции AA_{1}C_{1}C
, поэтому
OO_{1}=\frac{1}{2}(AA_{1}+CC_{1})=\frac{1}{2}(1+5)=3.
Если при этом точка B
лежит по ту же сторону от плоскости \alpha
, что и точки A
и C
(рис. 1), то прямая BO
параллельна плоскости \alpha
(BB_{1}=OO_{1}=3
), поэтому точка D
, лежащая на этой прямой, удалена от плоскости \alpha
на расстояние, также равное 3.
Если точка D
лежит по одну сторону от плоскости \alpha
, что и точки A
и C
, а точка B
— по другую (рис. 2), то отрезок OO_{1}
соединяет середины диагоналей BD
и B_{1}D_{1}
трапеции BD_{1}DB_{1}
с основаниями BB_{1}
и DD_{1}
. Поэтому
OO_{1}=\frac{1}{2}(DD_{1}-BB_{1}),~\mbox{или}~3=\frac{1}{2}(DD_{1}-3),
откуда находим, что DD_{1}=9
.
Пусть точки A
и C
лежат по разные стороны от плоскости \alpha
. Тогда отрезок OO_{1}
соединяет середины диагоналей AC
и A_{1}C_{1}
трапеции AA_{1}CC_{1}
с основаниями AA_{1}
и CC_{1}
. Поэтому
OO_{1}=\frac{1}{2}(CC_{1}-AA_{1})=\frac{1}{2}(5-1)=2,
причём точка O
лежит по одну сторону от плоскости \alpha
с точкой C
.
Если при этом точка B
лежит по ту же сторону от плоскости \alpha
, что и точка A
, а точка D
— по другую (рис. 3), то отрезок OO_{1}
соединяет середины диагоналей BD
и B_{1}D_{1}
трапеции BD_{1}DB_{1}
с основаниями BB_{1}
и DD_{1}
. Поэтому
OO_{1}=\frac{1}{2}(DD_{1}-BB_{1}),~\mbox{или}~2=\frac{1}{2}(DD_{1}-3),
откуда находим, что DD_{1}=7
.
Если же точки B
и D
лежат по ту же сторону от плоскости \alpha
, что и точка C
(рис. 4), отрезок OO_{1}
есть средняя линия трапеции BB_{1}D_{1}D
с основаниями BB_{1}
и DD_{1}
. Поэтому
OO_{1}=\frac{1}{2}(DD_{1}+BB_{1}),~\mbox{или}~2=\frac{1}{2}(DD_{1}+3),
откуда находим, что DD_{1}=1
.
Случай, когда точки A
и D
лежат по одну сторону от плоскости \alpha
, а точки B
и C
— по другую, невозможен.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 11, с. 29