8163. Пусть A
, B
, C
и D
— четыре точки в пространстве. Докажите, что если AB=BC
и CD=DA
, то прямые AC
и BD
перпендикулярны.
Указание. Соедините точки B
и D
с серединой отрезка AC
.
Решение. Если точки A
, B
, C
и D
лежат в одной плоскости, утверждение очевидно. Пусть точки A
, B
, C
и D
не лежат в одной плоскости. Соединим точки B
и D
с серединой M
отрезка AC
. Тогда BM
и DM
— медианы, а значит, и высоты равнобедренных треугольников ABC
и ADC
. Поэтому прямая AC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BM
и DM
плоскости BMD
. Следовательно, прямая AC
перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, прямой BD
.