8167. Точка M
равноудалена от вершин треугольника ABC
. Докажите, что ортогональная проекция точки M
на плоскость ABC
есть центр описанной около треугольника ABC
окружности.
Решение. Если точка M
лежит в плоскости треугольника ABC
, то утверждение очевидно. Пусть M_{1}
— ортогональная проекция точки M
, не лежащей в плоскости ABC
, на эту плоскость. Тогда прямая MM_{1}
перпендикулярна плоскости ABC
. Значит, прямая MM_{1}
перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, прямым M_{1}A
, M_{1}B
и M_{1}C
. Поэтому треугольники AMM_{1}
, BMM_{1}
и CMM_{1}
— прямоугольные. Они равны по катету (MM_{1}
— общий катет) и гипотенузе (MA=MB=MC
по условию). Значит, M_{1}A=M_{1}B=M_{1}C
, т. е. M_{1}
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
.