8168. Пусть A
— некоторая точка пространства, B
— ортогональная проекция точки A
на плоскость \alpha
, l
— некоторая прямая этой плоскости. Докажите, что ортогональные проекции точек A
и B
на эту прямую совпадают.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах.
Решение. Если точка B
лежит на прямой l
, то утверждение очевидно. Пусть точка B
не лежит на прямой l
, A_{1}
— ортогональная проекция точки A
на прямую l
. Это значит, что точка A_{1}
лежит на прямой l
и AA_{1}\perp l
. Поскольку BA_{1}
— ортогональная проекция наклонной AA_{1}
на плоскость \alpha
, то по теореме о трёх перпендикулярах BA_{1}\perp l
, а это значит, что A_{1}
— ортогональная проекция точки B
на прямую l
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 2, с. 31