8169. Точка M
находится на расстоянии a
от плоскости \alpha
и на расстоянии b
от некоторой прямой m
этой плоскости. Пусть M_{1}
— ортогональная проекция точки M
на плоскость \alpha
. Найдите расстояние от точки M_{1}
до прямой m
.
Ответ. \sqrt{b^{2}-a^{2}}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о трёх перпендикулярах.
Решение. Пусть A
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на прямую m
. Тогда M_{1}A
— ортогональная проекция наклонной MA
на плоскость \alpha
. По теореме о трёх перпендикулярах M_{1}A\perp m
. Значит, расстояние от точки M_{1}
до прямой равно длине отрезка M_{1}A
. Поскольку MM_{1}
— перпендикуляр к плоскости \alpha
, треугольник MM_{1}A
— прямоугольный. По теореме Пифагора находим, что
M_{1}A=\sqrt{MA^{2}-MM_{1}^{2}}=\sqrt{b^{2}-a^{2}}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 3, с. 31