8170. Известно, что некоторая точка M
в пространстве равноудалена от вершин плоского многоугольника. Докажите, что этот многоугольник является вписанным, причём центр его описанной окружности есть ортогональная проекция точки M
на плоскость многоугольника.
Решение. Если точка M
лежит в плоскости данного многоугольника A_{1}A_{2}\dots A_{n}
, то утверждение очевидно. Пусть M_{1}
— ортогональная проекция точки M
, не лежащей в плоскости многоугольника, на эту плоскость. Тогда прямая MM_{1}
перпендикулярна плоскости многоугольника. Значит, прямая MM_{1}
перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, прямым M_{1}A_{1}
, M_{1}A_{2}
, …, M_{1}A_{n}
. Поэтому треугольники A_{1}MM_{1}
, A_{2}MM_{1}
, …, A_{n}MM_{1}
— прямоугольные. Они равны по катету (MM_{1}
— общий катет) и гипотенузе (MA_{1}=MA_{2}=\dots=MA_{n}
по условию). Значит, M_{1}A_{1}=M_{1}A_{2}=\dots=M_{1}A_{n}
, т. е. M_{1}
— центр окружности, описанной около многоугольника A_{1}A_{2}\dots A_{n}
.