8177. Докажите, что в кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
прямые AC_{1}
и BD
перпендикулярны.
Решение. Прямая C_{1}C
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CB
и CD
плоскости ABCD
, поэтому C_{1}C
— перпендикуляр к плоскости ABCD
. Тогда прямая AC
— ортогональная проекция наклонной AC_{1}
к этой плоскости. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому AC\perp BD
. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах AC_{1}\perp BD
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 11, с. 32