8180. Докажите, что если прямая p
образует равные углы с тремя попарно пересекающимся прямыми плоскости, то прямая p
перпендикулярна этой плоскости.
Решение. Пусть прямая p
пересекает плоскость \alpha
, содержащую данные прямые k
, m
и n
, в точке O
. Проведём через точку O
прямые k_{1}
, m_{1}
и n_{1}
, соответственно параллельные прямым k
, m
и n
. Тогда прямая p
образует равные углы с прямыми k_{1}
, m_{1}
и n_{1}
. Поэтому произвольная точка A
прямой p
, отличная от O
, равноудалена от этих прямых. Значит, ортогональная проекция A_{1}
точки A
на плоскость \alpha
также равноудалена от прямых k_{1}
, m_{1}
и n_{1}
. Поэтому точка A_{1}
лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми k_{1}
и m_{1}
, на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми k_{1}
и n_{1}
, а также на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми m_{1}
и n_{1}
. Поскольку прямые k_{1}
, m_{1}
и n_{1}
различны, то указанные биссектрисы имеют единственную общую точку O
. Поэтому точка A_{1}
совпадает с точкой O
. Тогда прямая p
совпадает с прямой AA_{1}
. Следовательно, прямая p
перпендикулярна плоскости \alpha
.