8181. Все рёбра треугольной пирамиды равны между собой. Найдите угол между медианой одной из её граней и скрещивающимся с этой медианой ребром пирамиды.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{3}}{6}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер BC
и AC
данной пирамиды ABCD
, все рёбра которой равны a
. Тогда MN
— средняя линия треугольника ABC
. Поэтому MN\parallel AB
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми DM
и AB
равен углу между пересекающимися прямыми DM
и MN
.
Так как DM
и DN
— высоты и медианы равносторонних треугольников BCD
и ACD
, то
DN=DM=BD\sin\angle DBM=BD\sin60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Кроме того, MN=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}
.
Пусть K
— середина MN
. Тогда DK
— медиана и высота равнобедренного треугольника DMN
. Следовательно,
\cos\angle DMN=\frac{KM}{DM}=\frac{\frac{a}{4}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}.