8182. Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер a
, b
и c
этого куба.
Ответ. Диагональ куба.
Указание. Введите прямоугольную систему координат с началом в вершине куба.
Решение. Выберем прямоугольную систему координат с началом в вершине A
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и с осями Ax
, Ay
и Az
, направленными по лучам AB
, AD
и AA_{1}
соответственно.
Найдём координаты точек: A(0;0;0)
, B(1;0;0)
, D(0;1;0)
, A_{1}(0;0;1)
. Пусть точка M(x;y;z)
равноудалена от рёбер BB_{1}=a
, CD=b
и A_{1}D_{1}=c
.
Расстояния от точки M
до рёбер BB_{1}
, CD
и A_{1}D_{1}
равны соответственно
\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}},~\sqrt{(1-y)^{2}+z^{2}},~\sqrt{(1-z)^{2}+x^{2}}.
При x=y=z
точка M
, очевидно, равноудалена от рёбер a
, b
и c
. Докажем, что других таких точек внутри куба нет.
Пусть не все координаты точки M
равны между собой. Предположим, что x
— наименьшая из них, а z
— наибольшая. Тогда
x\lt z,~1-z\leqslant1-y~\Leftrightarrow~(1-z)^{2}+x^{2}\lt(1-y)^{2}+z^{2}.
Значит, точка M
не равноудалена от рёбер A_{1}D_{1}
и CD
. Остальные случаи разбираются точно так же.
Следовательно, искомое ГМТ — множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению x=y=z
. Это диагональ AC_{1}
куба.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Турнир городов. — 1996-1997, XVIII, осенний тур, старшие классы, тренировочный вариант