8184. Прямая l
образует угол \alpha
с плоскостью P
. Найдите ортогональную проекцию на плоскость P
отрезка, равного d
, расположенного на прямой l
.
Ответ. d\cdot\cos\alpha
.
Решение. Пусть AB=d
— отрезок, расположенный на данной прямой l
, пересекающей плоскость P
в точке O
; A_{1}
и B_{1}
— ортогональные проекции точек A
и B
на эту плоскость. Тогда точки A_{1}
и B_{1}
лежат на ортогональной проекции l_{1}
прямой l
на плоскость P
.
Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые AA_{1}
и BB_{1}
. Опустим перпендикуляр AM
из точки A
на прямую BB_{1}
. Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
AM=AB\cos\angle MAB=AB\cos\angle BOB_{1}=d\cos\alpha.
Следовательно, A_{1}B_{1}=AM=d\cos\alpha
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 2, с. 33