8185. В пирамиде ABCD
грань ABC
— правильный треугольник со стороной a
, AD=BD=CD=b
. Найдите косинус угла, образованного прямыми AD
, BD
и CD
с плоскостью ABC
.
Ответ. \frac{a}{b\sqrt{3}}
.
Решение. Поскольку боковые рёбра AD
, BD
и CD
пирамиды ABCD
равны между собой, высота DO
пирамиды проходит через центр O
окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC
, т. е. через центр этого треугольника. Поэтому
OA=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Так как DO
— высота пирамиды, то OA
— ортогональная проекция наклонной AD
на плоскость ABC
. Значит, OAD
— угол прямой AD
с плоскостью ABC
. Из прямоугольного треугольника AOD
находим, что
\cos\angle OAD=\frac{OA}{AD}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{b}=\frac{a}{b\sqrt{3}}.
Прямые BD
и CD
образуют с плоскостью ABC
такие же углы.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 3, с. 33