8186. Пусть прямая p
перпендикулярна плоскости \pi
. Докажите, что углы, образованные произвольной прямой l
с плоскостью \pi
и прямой p
, дополняют друг друга до 90^{\circ}
.
Решение. Если прямая l
также перпендикулярна плоскости \pi
, утверждение очевидно.
Пусть прямая l
не перпендикулярна плоскости \pi
и пересекает эту плоскость в точке A
. На прямой l
возьмём произвольную точку B
, отличную от A
. Пусть B_{1}
— ортогональная проекция точки B
на плоскость \pi
. Тогда прямые BB_{1}
и p
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же плоскости \pi
. Кроме того, AB_{1}
— ортогональная проекция прямой l
на плоскость \pi
. Поэтому BAB_{1}
— угол прямой l
с плоскостью \pi
, а ABB_{1}
— угол между прямыми p
и l
. Из прямоугольного треугольника ABB_{1}
видно, что
\angle BAB_{1}+\angle ABB_{1}=90^{\circ}.