8187. Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через точку A
, не принадлежащую плоскости \pi
, и образующие равные углы с этой плоскостью (углы, отличные от нуля). Найдите геометрическое место точек пересечения этих прямых с плоскостью \pi
.
Ответ. Окружность.
Решение. Пусть O
— ортогональная проекция точки A
на плоскость \pi
, M
— произвольная точка плоскости \pi
, для которой выполнено условие задачи, т. е. прямая AM
образует с плоскостью \pi
данный угол (обозначим его \alpha
). Так как OM
— ортогональная проекция наклонной AM
на плоскость \pi
, то \angle AMO=\alpha
. Из прямоугольного треугольника AMO
находим, что
OM=AO\ctg\angle AMO=AO\ctg\alpha.
Таким образом, точка M
лежит на окружности с центром O
и радиусом AO\ctg\alpha
.
Пусть теперь K
— произвольная точка этой окружности. Тогда прямая AK
образует с плоскостью \pi
острый угол, тангенс которого равен
\frac{AO}{OK}=\frac{AO}{AO\ctg\alpha}=\tg\alpha.
Значит, угол прямой AK
с плоскостью \pi
равен \alpha
.