8188. На плоскости
\alpha
даны три точки
A
,
B
и
C
, не лежащие на одной прямой. Пусть
M
— такая точка в пространстве, что прямые
MA
,
MB
и
MC
образуют равные углы с плоскостью
\alpha
. Найдите геометрическое место точек
M
.
Ответ. Прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника
ABC
перпендикулярно плоскости
\alpha
.
Решение. Пусть
M
— произвольная точка пространства (не лежащая в плоскости
\alpha
), для которой выполняется условие задачи;
O
— ортогональная проекция точки
M
на плоскость
\alpha
. Тогда
MAO
,
MBO
и
MCO
— углы прямых
MA
,
MB
и
MC
с этой плоскостью. Прямоугольные треугольники
MAO
,
MBO
и
MCO
равны по катету (
MO
— общий катет) и острому углу (
\angle MAO=\angle MBO=\angle MCO
по условию задачи). Значит,
OA=OB=OC
, т. е.
O
— центр окружности, описанной около треугольника
ABC
. Ясно, что точка
M
лежащая в плоскости
\alpha
и равноудалённая от точек
A
,
B
и
C
, является центром описанной окружности треугольника
ABC
. Таким образом, доказано, что каждая точка
M
, удовлетворяющая условию задачи, лежит на прямой
l
, проходящей через центр описанной окружности треугольника
ABC
перпендикулярно плоскости
\alpha
.
Пусть теперь
K
произвольная точка прямой
l
, отличная от
O
. Тогда прямоугольные треугольники
KAO
,
KBO
и
KCO
равны по двум катетам. Значит,
\angle KAO=\angle KBO=\angle KCO,

т. е. прямые
KA
,
KB
и
KC
образуют равные углы с плоскостью
\alpha
.