8189. Пусть ABC
— прямоугольный треугольник с гипотенузой AB=a
. На каком расстоянии от плоскости ABC
находится точка M
, если известно, что прямые MA
, MB
и MC
образуют с плоскостью углы, равные \alpha
.
Ответ. \frac{1}{2}a\tg\alpha
.
Решение. Пусть O
— ортогональная проекция точки M
на плоскость ABC
. Тогда MAO
, MBO
и MCO
— углы прямых MA
, MB
и MC
с плоскостью ABC
. По условию задачи \angle MAO=\angle MBO=\angle MCO
. Значит, прямоугольные треугольники MAO
, MBO
и MCO
равны по катету и острому углу. Поэтому OA=OB=OC
, т. е. точка O
— центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
. Так как центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы, то
OA=OB=OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a.
Из прямоугольного треугольника MAO
находим, что
OM=OA\tg\angle MAO=\frac{1}{2}a\tg\alpha.