8195. Пусть A
— некоторая точка в пространстве, не принадлежащая плоскости \alpha
. Рассмотрим всевозможные плоскости, проходящие через точку A
и образующие один и тот же угол с плоскостью \alpha
. Докажите, что все прямые, по которым плоскости, проходящие через точку A
, пересекаются с плоскостью \alpha
, касаются одной окружности.
Решение. Пусть A_{1}
— ортогональная проекция точки A
на плоскость \alpha
, l
— прямая, по которой плоскость \beta
, проходящая через точку A
, пересекается с плоскостью \alpha
, B
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A_{1}
на прямую l
, \varphi
— угол между плоскостями \alpha
и \beta
.
По теореме о трёх перпендикулярах AB\perp l
, поэтому ABA_{1}
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями \alpha
и \beta
. Значит, \angle ABA_{1}=\varphi
. Из прямоугольного треугольника ABA_{1}
находим, что A_{1}B=AA_{1}\ctg\varphi
. Поэтому точка B
расположена на фиксированной окружности с центром A_{1}
и радиусом, равным AA_{1}\ctg\varphi
. Прямая l
проходит через точку B
и перпендикулярна радиусу A_{1}B
. Следовательно, прямая l
— касательная к этой окружности.
