8196. Найдите сумму углов, которые произвольная прямая образует с плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Докажем, что указанная сумма равна 90^{\circ}
. Если обе прямые перпендикулярны данной плоскости либо одна из прямых перпендикулярна плоскости, а вторая параллельна этой плоскости, то утверждение очевидно. Пусть одна из прямых перпендикулярна данной плоскости, а вторая не перпендикулярна и не параллельна этой плоскости.
Через точку A
данной плоскости \alpha
проведём прямую l_{1}
, параллельную данной прямой l
, и прямую p_{1}
, параллельную данной прямой p
, перпендикулярной плоскости \alpha
. Через пересекающиеся прямые l_{1}
и p_{1}
проведём плоскость \beta
. Плоскости \alpha
и \beta
пересекаются по некоторой прямой m
, проходящей через точку A
. Пусть n
— произвольная прямая плоскости \alpha
, перпендикулярная прямой m
. Тогда прямая n
перпендикулярна двум пересекающимся прямым p_{1}
и m
плоскости \beta
. Значит, m\perp\beta
.
Из произвольной точки B
, отличной от A
и лежащей на прямой l_{1}
, опустим перпендикуляр BM
на прямую m
. Тогда прямая BM
перпендикулярна двум пересекающимся прямым m
и n
плоскости \alpha
. Поэтому BM\perp\alpha
. Значит, AM
— ортогональная проекция прямой l
на плоскость \alpha
, а BAM
— угол прямой l_{1}
с этой плоскостью. Так как прямые BM
и p
перпендикулярны одной и той же плоскости \alpha
, то BM\parallel p
. Поэтому угол между прямыми p
и l
равен углу между прямыми l_{1}
и BM
, т. е. углу ABM
. Из прямоугольного треугольника ABM
находим, что
\angle BAM+\angle ABM=90^{\circ}.
