8201. Пусть
ABC
— равносторонний треугольник. Через прямые
AB
,
BC
и
AC
проходят три плоскости, образующие угол
\varphi
с плоскостью
ABC
и пересекающиеся в точке
D_{1}
. Кроме того, через эти же прямые проходят плоскости, образующие угол
2\varphi
с плоскостью
ABC
и пересекающиеся в точке
D_{2}
. Найдите
\varphi
, если известно, что точки
D_{1}
и
D_{2}
находятся на равных расстояниях от плоскости
ABC
.
Ответ.
30^{\circ}
.
Решение. Обозначим через
a
сторону равностороннего треугольника
ABC
. Тогда радиус вписанной окружности треугольника равен
\frac{a\sqrt{3}}{6}
, а радиус вневписанной окружности —
\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Боковые грани треугольной пирамиды
ABCD_{1}
образуют равные углы с плоскостью основания
ABC
, поэтому высота
D_{1}O_{1}
пирамиды проходит через центр вписанной или через центр вневписанной окружности треугольника
ABC
. Аналогично, высота
D_{2}O_{2}
также проходит через центр вписанной или через центр вневписанной окружности треугольника
ABC
.
Если
O_{1}
и
O_{2}
совпадают с центром вписанной окружности треугольника
ABC
или и
O_{1}
, и
O_{2}
являются центрами вневписанных окружностей, то либо
D_{1}O_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg\varphi\lt\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg2\varphi=D_{2}O_{2},

либо
D_{1}O_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg\varphi\lt\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg2\varphi=D_{2}O_{2},

что противоречит условию задачи (
D_{1}O_{1}=D_{2}O_{2}
).
Если
O_{1}
— центр вписанной, а
O_{2}
— вневписанной окружности треугольника
ABC
, то
D_{1}O_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg\varphi,~D_{2}O_{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg2\varphi,

\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg\varphi=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg2\varphi,

\tg\varphi=3\tg2\varphi,~\tg\varphi=\frac{6\tg\varphi}{1-\tg^{2}\varphi},

откуда
\tg^{2}\varphi=-5
, что невозможно.
Если
O_{1}
— центр вневписанной, а
O_{2}
— вписанной окружности треугольника
ABC
, то
D_{1}O_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg\varphi,~D_{2}O_{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg2\varphi,

\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\tg\varphi=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot\tg2\varphi,

3\tg\varphi=\tg2\varphi,~3\tg\varphi=\frac{2\tg\varphi}{1-\tg^{2}\varphi},

откуда
\tg^{2}\varphi=\frac{1}{3}
,
\varphi=30^{\circ}
.

Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 10, с. 40