8203. Найдите двугранные углы пирамиды ABCD
, все рёбра которой равны между собой.
Ответ. \arccos\frac{1}{3}
.
Решение. Пусть все рёбра данной пирамиды равны a
. Поскольку боковые рёбра DA
, DB
и DC
пирамиды ABCD
равны, её высота DO
проходит через центр O
описанной окружности равностороннего треугольника ABC
, т. е. через центр этого треугольника. Пусть M
— середина AB
. Тогда CM
— высота и медиана равностороннего треугольника, а так как DM
— высота и медиана равнобедренного треугольника ADB
, то DMC
— линейный угол двугранного угла при ребре AB
данной пирамиды.
Обозначим \angle DMC=\alpha
. Из прямоугольного треугольника DOM
находим, что
\cos\alpha=\cos\angle DMO=\frac{OM}{DM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}.
Ясно, что остальные двугранные углы данной пирамиды также равны \alpha
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 12, с. 40