8204. Найдите двугранные углы пирамиды ABCD
, в которой AB=BC=CA=a
, AD=BD=CD=b
.
Ответ. \arccos\frac{a\sqrt{3}}{3\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}
;
2\arctg\frac{b}{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}=\arccos\frac{2b^{2}-a^{2}}{4b^{2}-a^{2}}
.
Решение. Пусть DO
— высота данной треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
. Поскольку боковые рёбра этой пирамиды равны между собой, точка O
— центр окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC
, т. е. центр этого треугольника. Пусть M
— середина AB
. Тогда CM
— высота и медиана равностороннего треугольника ABC
, а так как DM
— высота и медиана равнобедренного треугольника ADB
, то DMC
— линейный угол двугранного угла при ребре AB
данной пирамиды. Обозначим \angle DMC=\alpha
.
Из прямоугольных треугольников DMA
и DMO
находим, что
DM=\sqrt{DA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{b^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4b^{2}-a^{2}},
\cos\angle DMC=\cos\alpha=\frac{OM}{DM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{1}{2}\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{3\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}.
Следовательно,
\alpha=\arccos\frac{a\sqrt{3}}{3\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}.
Аналогично находим, что углы при рёбрах BC
и AC
также равны \alpha
.
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на боковое ребро DC
. Поскольку CM
— ортогональная проекция наклонной DC
на плоскость ABC
и CM\perp AB
, по теореме о трёх перпендикулярах DC\perp AB
. Прямая DC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB
и BF
плоскости ABF
. Поэтому прямая CD
перпендикулярна плоскости ABF
. Значит, AFB
— линейный угол двугранного угла при ребре DC
. Обозначим \angle AFB=\gamma
.
Из прямоугольного треугольника DCO
находим, что
DO=\sqrt{DC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{3}}=\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}.
Так как MF
и DO
— высоты треугольника MDC
, то MC\cdot DO=DC\cdot MF
, откуда находим, что
MF=\frac{MC\cdot DO}{DC}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{\sqrt{3}}}{b}=\frac{a\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{2b}.
Так как MF
— медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника AFB
, то
\tg\frac{\gamma}{2}=\tg\angle AFM=\frac{AM}{MF}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{2b}}=\frac{b}{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}.
Следовательно,
\gamma=2\arctg\frac{b}{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}.
Аналогично находим, что углы при рёбрах DA
и DB
также равны \gamma
.
\cos\gamma=\frac{1-\tg^{2}\frac{\gamma}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\gamma}{2}}=\frac{1-\frac{b^{2}}{3b^{2}-a^{2}}}{1+\frac{b^{2}}{3b^{2}-a^{2}}}=\frac{2b^{2}-a^{2}}{4b^{2}-a^{2}}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 13, с. 40