8240. Через точку пространства проведены четыре плоскости, никакие три из которых не имеют общей прямой. На сколько частей делят пространство эти плоскости? Как называются образовавшиеся части пространства?
Ответ. На 14 частей, 8 из которых — трёхгранные углы, а 6 — четырёхгранные.
Решение. Первый способ. Если плоскость, не содержащая ребро трёхгранного угла, проходит через его вершину и точку, лежащую внутри трёхгранного угла, то она разбивает этот угол на трёхгранный и четырёхгранный.
Рассмотрим плоскости \alpha
и \beta
, проходящие через данную точку O
. Они разбивают пространство на 4 части. Проведём через точку O
и точку A
, не лежащую в плоскостях \alpha
и \beta
, плоскость \gamma
. Плоскости \alpha
, \beta
и \gamma
разбивают пространство на 8 трёхгранных углов с общей вершиной O
. Через точку O
и точку B
, не лежащую ни в одной из плоскостей \alpha
, \beta
и \gamma
, проведём плоскость \delta
. Получим четыре плоскости, никакие три из которых не имеют общей прямой. Плоскость \delta
проходит через точку O
и пересекает ровно шесть из восьми трёхгранных углов, образованных плоскостями \alpha
, \beta
и \gamma
. Значит, к уже имевшимся восьми частям пространства добавляются ещё шесть. Таким образом, всего будет 14 частей, 8 из которых — трёхгранные углы, а 6 — четырёхгранные.
Второй способ. Пусть указанные плоскости проходят через точку O
. Рассмотрим четыре плоскости, соответственно параллельные данным. Они ограничивают некоторый тетраэдр. Докажем сначала, эти плоскости разбивает пространство на 15 частей.
Пусть точка M
— произвольная точка пространства, расположенная вне тетраэдра. Тогда отрезок MO
пересекает либо грань тетраэдра (4 варианта), либо его ребро (6 вариантов), либо проходит через вершину тетраэдра (4 варианта). Каждому варианту соответствует ровно одна (отличная от внутренности тетраэдра) часть пространства из тех, на которые пространство разбивается указанными плоскостями. Таким образом, общее число частей равно 4+6+4+1=15
. Что и требовалось доказать.
Число частей, на которые четыре исходные плоскости разбивают пространство, на 1 меньше найденного (тетраэдр «превратился» в точку, и одна часть исчезла). При этом 6 частей пространства, которые соответствовали рёбрам тетраэдра, превратились в четырёхгранные углы, а 8 частей, которые соответствовали вершинам и граням, — в трёхгранные.