8243. Все плоские углы трёхгранного угла равны по 60^{\circ}
. Найдите углы, образованные рёбрами этого трёхгранного угла с плоскостями противоположных граней.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Пусть O
— вершина данного трёхгранного угла. Отложим на его рёбрах отрезки OA
, OB
и OC
, причём OA=OB=OC=a
. Тогда треугольники OAB
, OAC
и OBC
— равносторонние. Поэтому AB=BC=AC=a
. Таким образом все грани пирамиды OABC
— равные равносторонние треугольники со стороной a
.
Пусть M
— ортогональная проекция точки A
на плоскость OBC
. Тогда AOM
— угол между ребром OA
и противоположной ему гранью BOC
данного трёхгранного угла. Так как AB=AC=AO
, то M
— центр равностороннего треугольника BOC
. Из прямоугольного треугольника AMO
находим, что
\cos\angle AOM=\frac{OM}{OA}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Поэтому \angle AOM=\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}
. Ясно, что остальные углы также равны \arccos\frac{\sqrt{3}}{3}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 10, с. 61