8246. Верно ли, что в сечении любого трёхгранного угла плоскостью можно получить правильный треугольник?
Ответ. Нет.
Решение. Рассмотрим трёхгранный угол OABC
с вершиной O
. Пусть его плоские углы AOC
и BOC
— прямые, а \angle AOB=30^{\circ}
. Предположим, что в сечении ABC
данного трёхгранного угла плоскостью получился правильный треугольник ABC
. Из равенства прямоугольных треугольников AOC
и BOC
следует, что OA=OB
, значит, треугольник AOB
равнобедренный. Поскольку угол при его вершине равен 30^{\circ}
, основание AB
меньше боковой стороны OA
, значит,
AB\lt OA\lt AC=AB,
что невозможно.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 17, с. 62
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 190, с. 28