8246. Верно ли, что в сечении любого трёхгранного угла плоскостью можно получить правильный треугольник?
Ответ. Нет.
Решение. Рассмотрим трёхгранный угол OABC
с вершиной O
. Пусть его плоские углы AOC
и BOC
— прямые, а \angle AOB=30^{\circ}
. Предположим, что в сечении ABC
данного трёхгранного угла плоскостью получился правильный треугольник ABC
. Из равенства прямоугольных треугольников AOC
и BOC
следует, что OA=OB
, значит, треугольник AOB
равнобедренный. Поскольку угол при его вершине равен 30^{\circ}
, основание AB
меньше боковой стороны OA
, значит,
AB\lt OA\lt AC=AB,
что невозможно.
