8247. Докажите, что в любой треугольной пирамиде найдётся вершина, при которой все плоские углы острые.
Решение. Предположим, что у некоторой пирамиды при каждой вершине есть неострый плоский угол. Так как сумма двух плоских углов трёхгранного угла больше третьего плоского угла, то сумма трёх плоских углов при каждой вершине такой пирамиды больше 180^{\circ}
. Значит, сумма всех 12 плоских углов пирамиды больше 4\cdot180^{\circ}=720^{\circ}
, что невозможно, так как эта сумма складывается из сумм углов четырёх треугольников — граней пирамиды. Поэтому она равна 720^{\circ}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: Учебник для 10—11 кл. общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 1999. — № 19, с. 62
Источник: Тригг Ч. Задачи с изюминкой. — М.: Мир, 1975. — № 140, с. 37