8248. Окружность, по которой шар, вписанный в конус, касается его боковой поверхности, делит площадь боковой поверхности конуса в отношении 1:3
. Найдите угол наклона образующей к плоскости основания конуса.
Ответ. 60^{\circ}
или \arccos\frac{2-\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть радиус основания конуса равен R
, образующая конуса равна l
, площадь боковой поверхности конуса равна S
, а угол образующей с плоскостью основания конуса равен \alpha
.
Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара — равнобедренный треугольник ASB
с вершиной S
, основанием AB=2R
, боковыми сторонами SA=SB=l
, углом \alpha
при основании и вписанной в него окружности с центром I
. Пусть эта окружность касается боковой стороны SA
в точке P
, а основания AB
в точке O
(центре основания конуса). При этом
SP=SA-AP=SA-OA=l-R.
Опустим перпендикуляр PQ
из точки P
на высоту SO
. Тогда PQ=r
— радиус окружности, по которой шар касается боковой поверхности конуса. Из подобия прямоугольных треугольников SPQ
и SAO
следует, что \frac{PQ}{OA}=\frac{SP}{SA}
, значит,
r=PQ=\frac{OA\cdot SP}{SA}=\frac{R(l-R)}{l},
Пусть боковая поверхность конуса, основание которого круг радиуса PQ
, а вершина совпадает с вершиной S
исходного конуса, равна S_{1}
, тогда
S_{1}=\pi r\cdot SP=\frac{\pi R(l-R)(l-R)}{l}=\frac{\pi R(l-R)^{2}}{l}.
Возможны два случая: S_{1}=\frac{1}{4}S
и S_{1}=\frac{3}{4}S
. В первом из них
\frac{\pi R(l-R)^{2}}{l}=\frac{1}{4}\pi Rl,~l^{2}=4(l-R)^{2},~l=2(l-R),~R=\frac{l}{2}.
Значит, \cos\alpha=\frac{R}{l}=\frac{1}{2}
. Следовательно, \alpha=60^{\circ}
.
Во втором —
\frac{\pi R(l-R)^{2}}{l}=\frac{3}{4}\pi Rl,~3l^{2}=4(l-R)^{2},~l\sqrt{3}=2(l-R),~R=\frac{l(2-\sqrt{3})}{2}.
Значит, \cos\alpha=\frac{R}{l}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}
. Следовательно, \alpha=\arccos\frac{2-\sqrt{3}}{2}
.