8251. В шар вписан конус. Докажите, что объём V_{1}
конуса и объём V
шара удовлетворяют неравенству V_{1}\leqslant\frac{8}{27}V
.
Решение. Пусть радиус шара равен R
, P
— вершина конуса, h
— его высота, r
— радиус основания (рис. 1). Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O
. В сечении получится окружность радиуса R
(рис. 2), в которую вписан равнобедренный треугольник ABP
с вершиной P
, основанием AB=2r
и высотой PM=h
. Продолжим высоту PM
до пересечения с окружностью в точке K
. Тогда PBK
— прямоугольный треугольник, а BM
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому
BM^{2}=PM\cdot KM,~\mbox{или}~r^{2}=h(2R-h).
Пусть V_{1}(h)
— объём конуса. Тогда
V_{1}(h)=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi h^{2}(2R-h).
Найдём наибольшее значение функции V_{1}(h)=\frac{1}{3}\pi h^{2}(2R-h)
на интервале (0;2R)
.
Первый способ. Решив уравнение V_{1}'(h)=0
, найдём критические точки функции V_{1}(h)
. Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (0;2R)
.
V_{1}'(h)=\left(\frac{1}{3}\pi(2Rh^{2}-h^{3})\right)'=\frac{1}{3}\pi(4Rh-3h^{2})=\frac{1}{3}\pi h(4R-3h)=0.
Промежутку (0;2R)
принадлежит единственный корень этого уравнения h=\frac{4}{3}R
. При переходе через точку h=\frac{4}{3}R
производная меняет знак с плюса на минус. Значит, на промежутке \left(0;\frac{4}{3}R\right)
функция V_{1}(h)
возрастает, а на промежутке \left(\frac{4}{3}R;2R\right)
— убывает. Следовательно, при h=\frac{4}{3}R
объём конуса наибольший. Таким образом, наибольший объём V_{1}
конуса достигается при h=\frac{4}{3}R
и
V_{1}\leqslant V_{1}\left(\frac{4}{3}R\right)=\frac{1}{3}\pi h^{2}(2R-h)=\frac{1}{3}\pi\frac{16}{9}R\cdot\frac{2}{3}R=\frac{32}{81}\pi R^{3},
Если V
— объём шара радиуса R
, то V=\frac{4}{3}\pi R^{3}
. Следовательно,
V_{1}\leqslant\frac{32}{81}\pi R^{3}=\frac{8}{27}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{8}{27}V.
Второй способ. Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
V_{1}(h)=\frac{1}{3}\pi h^{2}(2R-h)=\frac{1}{3}\pi\cdot4\cdot\frac{1}{2}h\cdot\frac{1}{2}h\cdot(2R-h)\leqslant
\leqslant\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\frac{1}{2}h+\frac{1}{2}h+(2R-h)}{3}\right)^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{8R}{27}=\frac{32\pi}{81},
причём равенство достигается, если \frac{1}{2}h=2R-h
, т. е. при h=\frac{4}{3}R
. Следовательно, наибольшее значение объёма конуса достигается при h=\frac{4}{3}R
.
Таким образом, наибольший объём V_{1}
конуса достигается при h=\frac{4}{3}R
и
V_{1}\leqslant V\left(\frac{4}{3}R\right)=\frac{1}{3}\pi h^{2}(2R-h)=\frac{1}{3}\pi\frac{16}{9}R\cdot\frac{2}{3}R=\frac{32}{81}\pi R^{3},
Если V
— объём шара радиуса R
, то V=\frac{4}{3}\pi R^{3}
. Следовательно,
V_{1}\leqslant\frac{32}{81}\pi R^{3}=\frac{8}{27}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{8}{27}V.