8252. Около данного шара описан конус. Докажите, что объём V_{1}
конуса и объём V
шара удовлетворяют неравенству V_{1}\geqslant2V
.
Решение. Пусть радиус шара равен r
, P
— вершина конуса, h
— его высота, R
— радиус основания (рис. 1). Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник APB
с основанием AB=2R
и вписанный в него круг радиуса r
, центр O
которого совпадает с центром шара (рис. 2). Пусть AM
— высота треугольника APB
, C
— точка касания круга со стороной AP
. Тогда M
— середина AB
,
AM=R,~PO=PM-OM=h-r,~AP=\sqrt{R^{2}+h^{2}},~OC=r.
Прямоугольные треугольники PCO
и PMA
подобны, поэтому \frac{OC}{PO}=\frac{AM}{AP}
, или
\frac{r}{h-r}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+h^{2}}}.
Отсюда находим, что R^{2}=\frac{r^{2}h}{h-2r}
Пусть V_{1}(h)
— объём конуса. Тогда
V_{1}(h)=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{r^{2}h}{h-2r}\cdot h=\frac{\pi r^{2}}{3}\cdot\frac{h^{2}}{h-2r}.
Найдём наименьшее значение функции V_{1}(h)=\frac{\pi r^{2}}{3}\cdot\frac{h^{2}}{h-2r}
на луче (2r;+\infty)
.
Решив уравнение V_{1}'(h)=0
, найдём критические точки функции V_{1}(h)
. Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (2r;+\infty)
.
V_{1}'(h)=\left(\frac{\pi r^{2}}{3}\cdot\frac{h^{2}}{h-2r}\right)'=\frac{\pi r^{2}}{3}\cdot\frac{2h(h-2r)-h^{2}}{(h-2r)^{2}}=\frac{\pi r^{2}h}{3(h-2r)^{2}}\cdot(h-2r)=0.
Промежутку (2r;+\infty)
принадлежит единственный корень этого уравнения h=4r
. При переходе через точку h=4r
производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, на промежутке (2r;4r)
функция V_{1}(h)
убывает, а на промежутке (4r;+\infty)
— возрастает. Следовательно, при h=4r
функция принимает наименьшее значение. Таким образом, наименьший объём V_{1}
конуса достигается при h=4r
и
V_{1}\geqslant V_{1}(4r)=\frac{8\pi r^{3}}{3}.
Если V
— объём шара радиуса r
, то V=\frac{4}{3}\pi r^{3}
. Следовательно,
V_{1}\geqslant\frac{8\pi r^{3}}{3}=2\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=2V.