8253. Рассматриваются всевозможные правильные четырёхугольные пирамиды, описанные около шара радиуса r
. Найдите высоту такой пирамиды с наименьшим объёмом.
Ответ. 4r
.
Решение. Пусть P
— вершина правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
, PH=h
— высота пирамиды, AB=a
— сторона основания, PM
и PN
— высоты боковых граней BPC
и APD
соответственно, O
— центр шара. (рис. 1). Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через пересекающиеся прямые PM
и PN
. Это равнобедренный треугольник MPN
с основанием MN=a
, высотой PH=h
и вписанный в него круг радиуса r
, центр O
которого совпадает с центром шара (рис. 2). Пусть Q
— точка касания круга со стороной PM
. Тогда
MH=\frac{a}{2},~PO=PH-OH=h-r,~PM=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+h^{2}},~OQ=r.
Прямоугольные треугольники PQO
и PHM
подобны, поэтому \frac{OQ}{PO}=\frac{MH}{PM}
, или
\frac{r}{h-r}=\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+h^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+4h^{2}}}.
Отсюда находим, что a^{2}=\frac{4r^{2}h}{h-2r}
.
Пусть V(h)
— объём конуса. Тогда
V_{1}(h)=\frac{1}{3}a^{2}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{4r^{2}h}{h-2r}\cdot h=\frac{4r^{2}}{3}\cdot\frac{h^{2}}{h-2r}.
Найдём наименьшее значение функции V(h)=\frac{4r^{2}}{3}\cdot\frac{h^{2}}{h-2r}
на луче (2r;+\infty)
.
Решив уравнение V'(h)=0
, найдём критические точки функции V(h)
. Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (2r;+\infty)
.
V'(h)=\left(\frac{4r^{2}}{3}\cdot\frac{h^{2}}{h-2r}\right)'=\frac{4r^{2}}{3}\cdot\frac{2h(h-2r)-h^{2}}{(h-2r)^{2}}=\frac{4r^{2}h}{3(h-2r)^{2}}\cdot(h-4r)=0.
Промежутку (2r;+\infty)
принадлежит единственный корень этого уравнения h=4r
. При переходе через точку h=4r
производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, на промежутке (2r;4r)
функция V(h)
убывает, а на промежутке (4r;+\infty)
— возрастает. Следовательно, при h=4r
функция принимает наименьшее значение. Таким образом, наименьший объём конуса достигается при h=4r
.