8254. Какую наибольшую площадь боковой поверхности может иметь правильная четырёхугольная призма с данной диагональю d
?
Ответ. d^{2}\sqrt{2}
.
Решение. Пусть сторона основания правильной четырёхугольной призмы с диагональю d
равна x
, а боковое ребро равно y
. По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда 2x^{2}+y^{2}=d^{2}
. Отсюда находим, что y^{2}=d^{2}-2x^{2}
.
Пусть S(x)
— площадь боковой поверхности призмы. Тогда S(x)=4xy=4x\sqrt{d^{2}-2x^{2}}
, где 0\lt x\lt\frac{d}{\sqrt{2}}
. Поэтому
S^{2}(x)=16x^{2}(d^{2}-2x^{2})=8\cdot2x^{2}(d^{2}-2x^{2})\leqslant8\left(\frac{2x^{2}+d^{2}-2x^{2}}{2}\right)^{2}=8\cdot\frac{d^{4}}{4}=2d^{4},
причём равенство достигается, если 2x^{2}=d^{2}-2x^{2}
, т. е. при x=\frac{d}{2}\lt\frac{d}{\sqrt{2}}
.
Поскольку функция S(x)
положительна для рассматриваемых значений x
, её наибольшее значение достигается в той же точке, что и для S^{2}(x)
. Следовательно, искомое наибольшее значение равно d^{2}\sqrt{2}
.