8255. Из всех прямоугольных параллелепипедов с данной диагональю d
найдите тот, который имеет наибольшую площадь боковой поверхности.
Ответ. Параллелепипед с измерениями \frac{d}{2}
, \frac{d}{2}
, \frac{d}{\sqrt{2}}
.
Указание. Примените неравенство x^{2}+y^{2}\geqslant\frac{(x+y)^{2}}{2}
.
Решение. Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда с диагональю d
равны x
и y
, а высота равна z
. По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда x^{2}+y^{2}+z^{2}=d^{2}
. Заметим, что x^{2}+y^{2}\geqslant\frac{(x+y)^{2}}{2}
, причём равенство достигается, если x=y
. Поэтому
z^{2}=d^{2}-(x^{2}+y^{2})\leqslant d^{2}-\frac{(x+y)^{2}}{2}.
Пусть S
— площадь боковой поверхности призмы. Тогда
S^{2}=(2(x+y)z)^{2}=4(x+y)^{2}(d^{2}-(x^{2}+y^{2}))\leqslant
\leqslant8\cdot\frac{(x+y)^{2}}{2}\left(d^{2}-\frac{(x+y)^{2}}{2}\right)\leqslant8\cdot\left(\frac{\frac{(x+y)^{2}}{2}+d^{2}-\frac{(x+y)^{2}}{2}}{2}\right)^{2}=2d^{4}.
Следовательно, S\leqslant d^{2}\sqrt{2}
, причём равенство достигается, если x=y
и \frac{(x+y)^{2}}{2}=d^{2}-\frac{(x+y)^{2}}{2}
. Тогда x=y
и x+y=d
, значит,
x=y=\frac{d}{2},~z=\sqrt{d^{2}-(x^{2}+y^{2})}=\frac{d}{\sqrt{2}}.