8256. Боковые рёбра DA=a
, DB=b
и DC=b
тетраэдра ABCD
попарно перпендикулярны (прямоугольный тетраэдр). Найдите ребро куба, вписанного в тетраэдр так, что одна из вершин куба совпадает с вершиной D
тетраэдра, а противоположная вершина L
принадлежит основанию тетраэдра.
Ответ. \frac{abc}{ab+ac+bc}
.
Указание. Примените метод объёмов.
Решение. Пусть объём тетраэдра равен V
. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}\cdot DC=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}ab\cdot c=\frac{1}{6}abc.
С другой стороны, объём тетраэдров равен сумме объёмов тетраэдров LABD
, LACD
и LBCD
с общей вершиной L
и высотами, равными ребру x
куба. Значит,
\frac{1}{6}abc=\frac{1}{6}abx+\frac{1}{6}acx+\frac{1}{6}bcx=\frac{1}{6}x(ab+ac+bc).
Следовательно,
x=\frac{abc}{ab+ac+bc}.
Примечание. С помощью аналогичных рассуждений можно доказать, что любая точка прямой LD
равноудалена от боковых граней тетраэдра (отрезок DL
называется биссектрисой тетраэдра); при этом DL=x\sqrt{3}=\frac{abc\sqrt{3}}{ab+ac+bc}
.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 285, с. 44
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 6.11, с. 116